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翻硬币与青蛙跳

2020-07-31

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IMO的翻硬币今(2019)年的国际数学奥林匹亚数学竞赛(InternationalMathematicalOlympiad,IMO)甫于7月在英国巴斯(Bath)举办。IMO每队6人,只考6题,每题7分,其中第五题是相当有趣的翻硬币问题。
 
问题:小明把n枚硬币由左至右排成一列,如果恰有k枚正面(head, H)朝上的硬币,他就把从左边数来第k枚硬币翻面过来。一直这样翻下去,直到所有的硬币都是背面(tail, T)朝上为止,例如从THT会这样翻:

 THT→HHT→HTT→TTT
 亦即翻3次后停止。

(1)请证明不管一开始硬币正反如何,一定能翻到全部背朝上。
(2)求出所有2n种硬币状态所需要翻的次数平均。

例如说,3个硬币有23=8种初始状态,把每一种都试一
试,会有以下的结果:
HHH→HHT→HTT→TTT(3次)

HHT→HTT→TTT(2次)

HTH→HHH→HHT→HTT→TTT(4次)

HTT→TTT(1次)
THH→TTH→HTH→HHH→HHT→HTT→TTT(6次)
THT→HHT→HTT→TTT(3次)

TTH→HTH→HHH→HHT→HTT→TTT(5次)

TTT(0次)

 的确,不管初始状态如何,最后都可以翻成全部反面朝上。而且,平均需要翻
 3+2+4+1+6+3+5+0/8=3(次) 
一般来说,n个硬币时平均要几次呢?答案公布在最后,读者可以先阖上杂誌试试看。......

 

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